Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁+a₂=16且S_n=2S_n-1+n+4（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=na_n，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）將S_n=2S_n-1+n+4中的n換成n-1，相減得，a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），求出a₁，a₂，得到{a_n+1}是以6為首項，2為公比的等比數列，從而得到通項a_n；
（Ⅱ）求出b_n，運用分組求和和錯位相減求和，設F_n=2+2×2²+..+n•2ⁿ，兩邊乘2，相減，即可得到求出F_n，從而得到T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2S_n-1+n+4，n≥3時，S_n-1=2S_n-2+n+3，
相減得，S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+1，即a_n=2a_n-1+1，
從而a_n+1=2（a_n-1+1），
當n=2時，S₂=2S₁+6即a₂-a₁=6，又a₁+a₂=16，
∴a₁=5，a₂=11，
即a₂+1=2（a₁+1），
∴n≥2有a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁=5，a₁+1=6，
∴{a_n+1}是以6為首項，2為公比的等比數列，即a_n+1=6×2^n-1，∴a_n=3×2ⁿ-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=n（3×2ⁿ-1），則
T_n=（3×2-1）+2×（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）=3×（2+2×2²+..+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
設F_n=2+2×2²+..+n•2ⁿ，①
2F_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①得，F_n=--2-2²-2³-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=3F_n-（1+2+…+n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．

點評：本題考查等比數列的通項和求和公式，同時考查數列的通項與前n項和的關系式，以及數列的求和方法：錯位相減，屬于中檔題．