Question

6．已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，${b_{n+1}}={a_n}+{（{-1}）^{n+1}}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得${a}_{n}={{a}_{n-1}+（-1）}^{n}+n$，∴${a}_{n}={a}_{n-2}+（-1）^{n-1}+n-1$，當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=a_n-2+n，累加，得a_n=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$；當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=a_n-2+n-2，累加，得a_n=$\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}$，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$）=4（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$）+4（$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{4{n}^{2}-4n+8}$），由此利用放縮法能證明$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}，滿足a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，${b_{n+1}}={a_n}+{（{-1}）^{n+1}}$，
∴${a}_{n}={{a}_{n-1}+（-1）}^{n}+n$，∴${a}_{n}={a}_{n-2}+（-1）^{n-1}+n-1$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=a_n-2+n，累加，得：${a}_{n}={a}_{1}+\frac{n+3}{2}•\frac{n-1}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=a_n-2+n-2，累加，得${a}_{n}={a}_{2}+\frac{n-2}{2}•\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}$，
故{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）^{2}}{4}，n為奇數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}-2n+8}{4}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，（n∈N^*）．
證明：（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$）
=4（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$）+4（$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…+\frac{1}{4{n}^{2}-4n+8}$）
＜4（$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$）+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{n}^{2}-n+2}$）
＜2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]+[$\frac{1}{2}+（1-\frac{1}{2}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$]
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$）+（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$）＜2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
故$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2n}}}}＜\frac{7}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．