Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$-1（a∈R）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可求得函數(shù)f（x）的極值；
（2）分類討論，當(dāng)e^1-a＜e，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，則f（x）的圖象在區(qū)間（0，e]上有零點，等價于e^a-1-1≥0，即可求得a取值，當(dāng)e^1-a≥e，則①當(dāng)e^-a≤e，原問題等價于$\frac{1+a-e}{e}$≥0，解得a≥e-1．②當(dāng)e^-a＞e，即a＜-1時，f（x）在（0，e]上的最大值為f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$＜f（e^-a）=-1，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，f（x）=$\frac{lnx+1}{x}$-1，x∈（0，+∞），
求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
令f′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）在x=1處取得極大值，f（x）_極大值=f（1）=0．
（2）由（1）可得f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1-1．
（�。┊�(dāng)e^1-a＜e，即a＞0時，由（1）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1-1．
又當(dāng)x=e^-a時，f（x）=-1，
∴f（x）的圖象在區(qū)間（0，e]上有零點，等價于e^a-1-1≥0，
解得：a≥1，又a＞0，
∴a≥1．
（ⅱ）當(dāng)e^1-a≥e，即a≤0時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
又當(dāng)x=e^-a時，f（x）=-1，
∴①當(dāng)e^-a≤e，即a≥-1時，f（x）在（0，e]上的最大值為f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$，
∴原問題等價于$\frac{1+a-e}{e}$≥0，解得a≥e-1．
又∵a≤0，∴此時無解．
②當(dāng)e^-a＞e，即a＜-1時，f（x）在（0，e]上的最大值為f（e）=$\frac{1+a-e}{e}$＜f（e^-a）=-1，
∴此時無解．
綜合（�。�（ⅱ）得a≥1，
∴實數(shù)a的取值范圍[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，考查函數(shù)零點的判斷，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．