Question

15．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓（x-1）²+y²=1所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1，∠BAF=60°．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求三棱錐M-DAF的體積V₁與多面體CD-AFEB的體積V₂之比的值．

Answer 1

分析 （1）證明CB⊥AB，CB⊥AF，推出AF⊥BF，然后證明AF⊥平面CBF；
（2）設(shè)DF的中點(diǎn)為H，連接MH，證明∥平面DAF．求出三棱錐M-DAF的體積V₁，多面體CD-AFEB的體積可分成三棱錐C-BEF與四棱錐F-ABCD的體積之和，q求出多面體CD-AFEB的體積V₂，即可求解V₁：V₂．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB為圓O的直徑，得AF⊥BF，BF∩CB=B，
∴AF⊥平面CBF．
（2）解：設(shè)DF的中點(diǎn)為H，連接MH，則∴$MH\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD$，又$OA\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}CD$，∴$MH\underline{\underline{∥}}OA$，∴OAHM為平行四邊形，OM∥AH，又∵OM?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．
顯然，四邊形ABEF為等腰梯形，∠BAF=60°，因此△OAF為邊長(zhǎng)是1的正三角形．
三棱錐M-DAF的體積${V_1}={V_{O-DAF}}={V_{D-OAF}}=\frac{1}{3}×DA×{S_{△OAF}}=\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$；
多面體CD-AFEB的體積可分成三棱錐C-BEF與四棱錐F-ABCD的體積之和，
計(jì)算得兩底間的距離$E{E_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．所以${V_{C-BEF}}=\frac{1}{3}{S_{△BEF}}×CB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，${V_{F-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{矩形ABCD}}×E{E_1}=\frac{1}{3}×2×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以${V_2}={V_{C-BEF}}+{V_{F-ABCD}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{12}$，
∴V₁：V₂=1：5．

點(diǎn)評(píng) 本題列出空間幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．