Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足f（-1）=0，且對任意實數x，都有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，f（x）≤

1

4

（x+1）²．
（1）求f（1）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若x∈[-1，1]時，函數g（x）=f（x）-mx是單調的，則求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得當x=1時，有1≤f（1）≤1，即f（1）=1，
（2）f（-1）=0，f（1）=1，解得a+c=b=

1

2

，ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實數x恒成立，

a＞0 ac≥ 1 16

再由基本不等式可得當且只有當a=c=

1

4

時，滿足題意，進而可得解析式．
（3）f （x）是單調的，所以g （x）的頂點一定在[-1，1]的外邊．得到|

2-4m

2

|≥1，解得m的范圍即可．

解答： 解：（1）∵對任意的x∈R，總有f（x）-x≥0，并且當x∈（0，2）時，f（x）≤

1

4

（x+1）²．
∴當x=1時，有1≤f（1）≤1
即f（1）=1，
（2）∵f（-1）=0，f（1）=1，
∴

a-b+c=0 a+b+c=1

，
解得a+c=b=

1

2

，
又∵對于一切實數x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實數x恒成立，
∴

a＞0 (b-1)2-4ac≤0

，
即

a＞0 ac≥ 1 16

∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=

1

2

，
∴當且只有當a=c=

1

4

時，不等式成立，
∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

（3）g（x）=f （x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．
當x∈[-1，1]時，f （x）是單調的，所以g （x）的頂點一定在[-1，1]的外邊．
∴|

2-4m

2

|≥1
解得m≤0，或m≥1
故m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）

點評：本題考查函數解析式的求解，二次函數的性質，函數的恒成立問題，以及不等式的證法，屬中檔題．