Question

4．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=-8．

Answer 1

分析 由條件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），說明此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，
又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4），
∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期為8，
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖：

由圖象可知f（x）=m的4個根中，兩個關(guān)于直線x=-6對稱，兩個關(guān)于直線x=2對稱，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-6×2+2×2=-8．
故答案為：-8．

點評 本題主要考查方程根的應(yīng)用，根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．