Question

已知數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，其前n項和S_n滿足S_n=(

an+1

2

)2，設(shè)b_n=20-a_n（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{|b_n|}的前n項和B_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，研究{a_n}的相鄰項的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項即可．
（2）b_n=20-a_n=20-（2n-1）=21-2n，分n≤10和n≥11兩種情況求和即可．

解答： 解：（1）由題設(shè)條件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，故有a_n=2n-1．
（2）b_n=20-a_n=20-（2n-1）=21-2n，
∴{b_n}是首項為19，公差為-2 的等差數(shù)列，
由21-2n≥0得n≤

21

2

，
∴1≤n≤10時，b_n＞0，n≥11時，b_n＜0，
∴當(dāng)1≤n≤10時，B_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(19+21-2n)

2

=n（20-n），
當(dāng)n≥11時，B_n=2（b₁+b₂+…+b₁₀）-（b₁+…+b₁₀+b₁₁+…+b_n）=2×10（20-10）-n（20-n）=n²-20n+100．
∴B_n=

n(20-n) n≤10 n2-20n+100 n≥11

．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義及證明，考查絕對值數(shù)列求和的方法，注意對n分類討論，屬于中檔題．