【題目】把一塊邊長為的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對應(yīng)邊垂直）剪去六個(gè)全等的四邊形（陰影部分），折起六個(gè)矩形焊接制成一個(gè)正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽略），設(shè)容器的底面邊長為.

（1）若，且該容器的表面積為時(shí)，在該容器內(nèi)注入水，水深為，若將一根長度為的玻璃棒（粗細(xì)忽略）放入容器內(nèi)，一端置于處，另一端置于側(cè)棱上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；

（2）求該容器的底面邊長的范圍，使得該容器的體積始終不大于.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，表示出容器的高，從而可以表示出容器的底面積和側(cè)面積，根據(jù)容器的表面積為，得到關(guān)于的方程，從而得到的值，設(shè)玻璃棒在上的交點(diǎn)為，玻璃棒與水面交點(diǎn)為，過作交于，根據(jù)得到的值；

（2）表示出容器的體積，根據(jù)對恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，從而得到的范圍.

解：（1）由題意，則，設(shè)該容器的高為，則.

當(dāng)時(shí)，容器底面積，

側(cè)面積，

所以容器表面積，整理得，

得或（舍）.

當(dāng)玻璃棒一個(gè)端點(diǎn)置于處，另一端置于側(cè)棱上時(shí)，

如圖，設(shè)玻璃棒在上的交點(diǎn)為，玻璃棒與水面交點(diǎn)為.

因?yàn)?/span>為正六棱柱，所以四邊形為矩形，

在平面中，過作交于，如圖所示，

因?yàn)?/span>，，則，因?yàn)?/span>，

所以即，

所以.

（2）設(shè)該容器的體積為，.

因?yàn)樵撊萜鞯捏w積始終不大于，

所以對恒成立.

即對恒成立，

令，，

令得，則隨變化的表格如下：

+

0

-

增

最大值

減

.

所以，得，得.

答：該容器底面邊長滿足時(shí)，容器的體積始終不大于.

練習(xí)冊系列答案
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（1）若公差為d的等差數(shù)列是“2控?cái)?shù)列”，求d的取值范圍；

（2）已知公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列與都是“k控?cái)?shù)列”，求q的取值范圍（用k表示）．

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未感染病毒

感染病毒

總計(jì)

未注射疫苗

30

注射疫苗

70

總計(jì)

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（Ⅰ）能否有的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒與注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分別抽取3只進(jìn)行病例分析，然后從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2只對注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.

附：，，

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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質(zhì)量指標(biāo)值分組

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A.B.C.D.

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