Question

【題目】若數(shù)列滿足，且存在常數(shù)，使得對任意的都有，則稱數(shù)列為“k控?cái)?shù)列”．

（1）若公差為d的等差數(shù)列是“2控?cái)?shù)列”，求d的取值范圍；

（2）已知公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列與都是“k控?cái)?shù)列”，求q的取值范圍（用k表示）．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根據(jù)“控?cái)?shù)列”的定義得出，則由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得對恒成立，求出公差的取值范圍；

（2）由等比數(shù)列為“控?cái)?shù)列”得，又是“控?cái)?shù)列”得，分類討論求出q的取值范圍.

（1）因?yàn)楣�差�?/span>的等差數(shù)列是“2控?cái)?shù)列”，所以，所以，

即，

所以

由得所以，又，所以，

由得：

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，成立；

當(dāng)時(shí)，，又，所以；

綜上，，

所以的取值范圍是；

（2）因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列且為“控?cái)?shù)列”，所以，顯然，故．

易知，要使是“控?cái)?shù)列”，

則，

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

令，則遞減，

所以，

所以，即．

要使存在，則得；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

令，則遞減，，

所以，又，所以，

要使存在，需，得

綜上，當(dāng)時(shí)，公比的取值范圍是．