精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設 $數學公式$
（1）求 $數學公式$ 的最大值及相應x的值；
（2）當 $數學公式$ • $數學公式$ 時，求cosx的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2
由此可得 $\text{[math]}$ ≤2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4，
當且僅當2 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 共線且反向時，即 $\text{[math]}$ 時，等號成立
解之得：x= $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
綜上所述，當x= $\text{[math]}$ +2kπ（k∈Z）時， $\text{[math]}$ 的最大值為4
（2） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosx-sinx=- $\text{[math]}$
∴2sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，得sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，得x- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴cos（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由此可得cosx=cos[（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根據向量模的公式，得出 $\text{[math]}$ =1且 $\text{[math]}$ =2，再由向量的三角形不等式得 $\text{[math]}$ ≤2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由此不難得到 $\text{[math]}$ 的最大值及相應x的值；
（2）根據向量數量積的運算公式，解出sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．再利用配角：x=（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，并結合兩角和的余弦公式即可算出cosx的值．
點評：本題以平面向量數量積的運算為載體，著重考查了三角恒等變形、向量的模及其運算性質等知識，屬于中檔題．

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