Question

2．正△ABC的三個頂點都在球O的球面上，AB=AC=2，若三棱錐O-ABC的體積為2，則該球的表面積為$\frac{160π}{3}$．

Answer 1

分析 根據題意求出正△ABC的面積以及點O到底面的距離，再求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：正△ABC的三個頂點都在以O為球心的球面上，
且AB=AC=BC=2，
取BC中點D，連結AD，OD，
過O作OE⊥平面ABC，則OE∩AD=E，如圖所示；
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
AE=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵三棱錐O-ABC的體積為2，
∴$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×OE=2，
解得OE=2$\sqrt{3}$，
∴球的半徑為OA=$\sqrt{{OE}^{2}{+AE}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}）}^{2}{+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{40}{3}}$，
∴球的表面積為S=4π×OA²=$\frac{160π}{3}$．
故答案為：$\frac{160π}{3}$．

點評 本題考查了球的表面積求法問題，也考查了空間想象能力，是中檔題．