分析 先求出a6=-2,從$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$=$\frac{4}{{{a}_{4}}^{2}}$+$\frac{8}{{{a}_{6}}^{2}}$+$\frac{16}{{{a}_{8}}^{2}}$=$\frac{4}{(\frac{-2}{{q}^{2}})^{2}}$+2+$\frac{16}{(-2{q}^{2})^{2}}$,由此利用基本不等式性質(zhì)能求出$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$的最小值.
解答 解:∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a3a6a9=${{a}_{6}}^{3}$=-8,
∴a6=-2
∴$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$
=$\frac{4}{{{a}_{4}}^{2}}$+$\frac{8}{{{a}_{6}}^{2}}$+$\frac{16}{{{a}_{8}}^{2}}$
=$\frac{4}{(\frac{-2}{{q}^{2}})^{2}}$+2+$\frac{16}{(-2{q}^{2})^{2}}$
=${q}^{4}+\frac{4}{{q}^{4}}$+2
$≥2\sqrt{{q}^{4}×\frac{4}{{q}^{4}}}$+2=6.
當(dāng)且僅當(dāng)${q}^{4}=\frac{4}{{q}^{4}}$時取等號,
∴$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$的最小值為6.
故答案為:6.
點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-$\frac{12}{5}$,$\frac{4}{5}$) | B. | ($\frac{3}{10},\frac{12}{5}$) | C. | [-$\frac{12}{5}$,-$\frac{3}{10}$] | D. | [-$\frac{3}{10}$,-$\frac{12}{5}$] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,-2,1) | B. | (-1,2,1) | C. | (1,-2,-1) | D. | (1,2,-1) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015-2016學(xué)年江蘇泰興中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)分別是橢圓
的左右焦點,
是
上一點,且
與
軸垂直,直線
與
的另一個交點為
.
(1)若直線的斜率為
,求
的離心率;
(2)若直線在
軸上的截距為2,且
,求橢圓
的方程.
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