Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，-2），直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+m\\ y=-2+m\end{array}$（m為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ；直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B．
（1）求直線l和曲線C的普通方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）將直線l參數(shù)m消掉，即可將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化簡(jiǎn)ρsin²θ=2cosθ，得到曲線C的普通方程；
（2）將直線l：轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程代入線C的普通方程，由韋達(dá)定理求得t₁+t₂和t₁•t₂，將$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$同分即可求得$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

解答 解：（1）依題意得：直線l的普通方程為x-y-3=0，
曲線C的普通方程為y²=2x…（4分）
（2）將直線l的方程化為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C：y²=2x，
得：${t^2}-6\sqrt{2}t+4=0$，${t_1}+{t_2}=6\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$，
所以$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．