Question

11．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值是（　�。�

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意畫出草圖分析，由于在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，可得  $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$，而|$\overrightarrow{AM}$|=|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OM}$|=2≥2$\sqrt{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$，利用均值不等式即可求得$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值．

解答 解：由題意畫出草圖：

由于點M為△ABC中邊BC的中點，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}•2\overrightarrow{OM}$=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|．
∵O為中線AM上的一個動點，即A、O、M三點共線，
∴|$\overrightarrow{AM}$|=|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OM}$|=2≥2$\sqrt{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$（當且僅當“$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OM}|$”時取等號），得|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|≤1，
又$\overrightarrow{OA}$•2$\overrightarrow{OM}$=-2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OM}$|≥-2，
則$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）的最小值為-2．
故選：A．

點評 本題考查了三角形的中線，兩向量的和的平行四邊形法則，均值不等式及不等式的性質，是中檔題．