Question

兩個(gè)邊長(zhǎng)均為3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．
（1）證明：MN∥平面BCE；
（2）當(dāng)AM=FN=

2

  時(shí)，求MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）證法一：（線面平行的判定定理法）作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，先證出Rt△MCP≌Rt△NBQ，進(jìn)而得到四邊形MPQN為平行四邊形．則MN∥PQ，再由線面平行的判定定理得到答案．
證法二：（面面平行的性質(zhì)法）過(guò)M作MH⊥AB于H，連接NH，由面面平行的判定定理證明出平面MNH∥平面BCE，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到MN∥平面BCE；
（2）當(dāng)AM=FN=

2

時(shí)，根據(jù)（1）中比例關(guān)系，我們可又求出MH，NH的長(zhǎng)，解Rt△MNH可得答案．

解答：證明：（1）證法一：（線面平行的判定定理法）
如圖一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，連接PQ，
則MP∥AB，NQ∥AB．
所以MP∥NQ，
又AM=NF，AC=BF，
所以MC=NB．
又∠MCP=∠NBQ=45°，
所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，
所以MP=NQ．
故四邊形MPQN為平行四邊形．
所以MN∥PQ．…..（4分）
因?yàn)镻Q∥平面BCE，MN∥平面BCE，
所以MN∥平面BCE…..（6分）
法二：如圖二，過(guò)M作MH⊥AB于H，則MH∥BC．
所以

AM

AC

=

AH

AB

．
連接NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

FN

FB

=

AH

AB

，
所以NH∥AF∥BE．…..（2分）
又∵NH∩BH=H，BC∩BE=B，NH，BH?平面MNH，BC，BE?平面BCE
∴平面MNH∥平面BCE…..（4分）
因?yàn)镸N?平面MNH，
所以MN∥平面BCE．…..（6分）
（2）如圖二，∵AM=FN=

2

由比例關(guān)系易得：
∵

AM

AC

=

FN

FB

=

AH

AB

=

MH

BC

=

1

3

，
∴在Rt△ABC中，MH=1，
在Rt△ABF中，NH=2，
∴在Rt△MNH中，MN=

5

．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的計(jì)算，其中熟練掌握空間線面關(guān)系證明的不同方法是解答的關(guān)鍵．