Question

3．已知函數(shù)y=f（x）的值域為[$\frac{1}{4}$，3]，y=f²（x）-f（x）+1的值域為[$\frac{3}{4}$，7]；F（x）=4f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域為[4，$\frac{37}{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=t，利用換元法得出關(guān)于t的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性得出兩函數(shù)的值域．

解答 解：設(shè)f（x）=t，則t∈[$\frac{1}{4}$，3]，
∴y=f²（x）-f（x）+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y取得最小值$\frac{3}{4}$，當(dāng)t=3時，y取得最大值7，
∴y=f²（x）-f（x）+1的值域為[$\frac{3}{4}$，7]．
F（x）=4f（x）+$\frac{1}{f（x）}$=4t+$\frac{1}{t}$，
令g（t）=4t+$\frac{1}{t}$，則g′（t）=4-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
∴g（t）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，g（t）取得最小值g（$\frac{1}{2}$）=4，
又g（$\frac{1}{4}$）=5，g（3）=$\frac{37}{3}$．
∴g（t）的值域為[4，$\frac{37}{3}$]．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，7]，[4，$\frac{37}{3}$]．

點評 本題考查了換元法，函數(shù)值域的計算，屬于中檔題．