Question

已知函數(shù)f（x）=+aln（x+1）
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若f（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）==，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及極值的定義求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（II）若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≥0恒成立，若f（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≤0恒成立，由此得到參數(shù)所滿足的不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=+2ln（x+1），定義域是（-1，0）∪（0，+∞），
，即f′（x）==，
由f′（x）＞0，得，-1＜x＜-，或x＞1．
由f′（x）＜0，得-，或0＜x＜1．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，-）和（1，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（-，0）和（0，1）．

x	（-1，-）	-	（-，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	↓	極小值	↑

∴極大值f（-）=-2-2ln2，極小值f（1）=-1+2ln2．
（II）若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
即，變形，得a；
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，，
∴a．
若f（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）≤0恒成立，
即，變形得a≤，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，=，∴a≤，
綜上所述：a或a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．