Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x+l|．
（I）求不等式f（x）≤x的解集；
（II ）若不等式f（x）≥t²-t在x∈[-2，-1]時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的幾何運(yùn)用，分類討論，求得f（x）≤x的解集．
（Ⅱ）x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）=x+3，最小值為1，再根據(jù)t²-t≤1，求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，x+3≤x，不成立；
-$\frac{1}{2}$＜x＜2時(shí)，-3x+1≤x，解得x≥$\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{4}$≤x＜2；
x≥2時(shí)，-x-3≤x，∴x≥-$\frac{3}{2}$，∴x≥2，
綜上所述，不等式f（x）≤x的解集為[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（II ）x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）=x+3，最小值為1．
∵不等式f（x）≥t²-t在x∈[-2，-1]時(shí)恒成立，
∴t²-t≤1，
∴$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．