Question

6．若在（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中，第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，且含x項(xiàng)的系數(shù)為a，則直線y=$\frac{a}{4}$x與曲線y=x²所圍成的封閉區(qū)域的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用二項(xiàng)式定理求出a，然后根據(jù)定積分的幾何意義求封閉圖形的面積．

解答 解：因?yàn)樵冢?\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中，第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以${C}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-2}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{2}={C}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-4}×4$為常數(shù)項(xiàng)，所以n=4，
又含x項(xiàng)的系數(shù)為a，所以${C}_{4}^{r}×{2}^{r}（\sqrt{x}）^{4-2r}={C}_{4}^{r}{2}^{r}{x}^{2-r}$，令2-r=1，得r=1，所以a=8，
所以直線y=2x曲線y=x²所圍成的封閉區(qū)域的面積為${∫}_{0}^{2}（2x-{x}^{2}）dx$=（x${\;}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{2}$=$\frac{4}{3}$；
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用以及定積分的應(yīng)用；正確求出a是解答的前提，利用定積分求封閉圖形的面積是關(guān)鍵．