Question

11．在平面直角坐標系xoy中，直線$\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$，（t為參數(shù)）與拋物線y²=2px（p＞0）相交于橫坐標分別為x₁，x₂的A，B兩點
（1）求證：x₀²=x₁x₂；
（2）若OA⊥OB，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線與拋物線方程的方程組，利用參數(shù)的幾何意義化簡求解即可．
（2）通過向量垂直的充要條件，化簡求解即可．

解答 （10分）
解：（1）設(shè)直線$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$…①與拋物線y²=2px（p＞0）…②
交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴α≠0
把①代入②，得關(guān)于t的一元二次方程 t²sin²α-2tpcosα-2px₀=0，
設(shè)點A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=\frac{2pcosα}{{{{sin}^2}α}}$，${t_1}{t_2}=\frac{{-2p{x_0}}}{{{{sin}^2}α}}$…③
∴${x_1}{x_2}=（{{x_0}+{t_1}cosα}）（{{x_0}+{t_2}cosα}）=x_0^2+（{{x_0}cosα}）（{{t_1}+{t_2}}）+{t_1}{t_2}{cos^2}α$…④
把③代入④得${x_1}{x_2}=x_0^2+（{{x_0}cosα}）（{{t_1}+{t_2}}）+{t_1}{t_2}{cos^2}α=x_0^2$…（5分）．
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，由（Ⅰ）知${y_1}{y_2}=-x_0^2$，
又y₁=t₁sinα，y₂=t₂sinα，∴${y_1}{y_2}={t_1}{t_2}{sin^2}α$，
由③知$-x_0^2=\frac{{-2p{x_0}}}{{{{sin}^2}α}}{sin^2}α$，∴x₀=2p．                             …（10分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．