Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_4}x}|，\;0＜x≤4\\{x^2}-10x+25，\;x＞4.\end{array}\right.$若a，b，c，d是互不相同的正數(shù)，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是（　�。�

• A． （24，25）
• B． （18，24）
• C． （21，24）
• D． （18，25）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，可得ab=1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得c+d=10，運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：先畫出函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_4}x}|，\;0＜x≤4\\{x^2}-10x+25，\;x＞4.\end{array}\right.$的圖象，如圖：
∵a，b，c，d互不相同，不妨設(shè)a＜b＜c＜d．
且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
而-log₄a=log₄b，即有l(wèi)og₄a+log₄b=0，
可得ab=1，
則abcd=cd，
由c+d=10，可得cd＜（$\frac{c+d}{2}$）²=25，
且cd=c（10-c）=-（c-5）²+25，
當(dāng)c=4時(shí)，d=6，cd=24，但此時(shí)b，c相等，
故ab的范圍為（24，25）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)圖象分析解決問題的能力，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在本題中的運(yùn)用．