Question

13．如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．
（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，由等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面POB，則AC⊥PB；
（Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面積，即PO的長(zhǎng)度，代入棱錐體積公式求得三棱錐P-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC為正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，則AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．