Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d有兩個極值點x₁，x₂，若點P（x₁，f（x₁））為原點，點Q（x₂，f（x₂））在圓C：（x-2）²+（y-3）²=1上運動時，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出c=0，d=0，得到x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0，f（x₂）=$\frac{{4b}^{3}}{2{7a}^{2}}$＞0，判斷出a＜0，b＞0，得到k_max=$\frac{3f{（x}_{2}）}{{2x}_{2}}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 $\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$的最大值，從而求出k的最大值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c，若點P（x₁，f（x₁））為坐標原點，
則f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，
∴f′（x）=3ax²+2bx=0，解得：x₂=-$\frac{2b}{3a}$，f（x₂）=$\frac{{4b}^{3}}{2{7a}^{2}}$，
又Q（x₂，f（x₂））在圓C：（x-2）²+（y-3）²=1上，
∴x₂＞0，f（x₂）＞0，∴a＜0，b＞0，
∴k_max=-$\frac{^{2}}{3a}$=$\frac{3f{（x}_{2}）}{{2x}_{2}}$，
而$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$表示⊙C上的點Q與原點連線的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得：（1+k²）x²-（6k+4）x+12=0，
得：△=0，解得：k=$\frac{6±2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$的最大值是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴k_max=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：3+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)和直線與圓的關(guān)系，是一道中檔題．