Question

7．若M為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，直線BC與AM交于點(diǎn)D，則$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，得出$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，取BC的中點(diǎn)N，連接AN，取AE=$\frac{1}{4}$AC，得出$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{AE}$，畫出圖形結(jié)合圖形求出$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的值．

解答 解：△ABC中，
4$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴4$\overrightarrow{AM}$=2（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，

取BC的中點(diǎn)N，連接AN，取AE=$\frac{1}{4}$AC，
以$\overrightarrow{AN}$、$\overrightarrow{AE}$為鄰邊作平行四邊形AEMN，連接AM，交BC于點(diǎn)D，
則$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{AE}$，如圖所示；
∴MN=AE=$\frac{1}{4}$AC，
∴ND=$\frac{1}{4}$DC，
∴CD=$\frac{4}{5}$CN，
∴CD=$\frac{2}{5}$BC，
∴BD=$\frac{3}{5}$BC，
∴$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性表示與運(yùn)算問題，是中檔題．