Question

17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A，B，C所對的邊分別為a，b，c則下列結(jié)論正確的是①②⑤．
①$B=\frac{π}{3}$；
②若b²=ac，則△ABC為等邊三角形；
③若a=2c，則△ABC為銳角三角形；
④若${\overrightarrow{AB}^2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，則3a=c；
⑤若$tanA+tanC+\sqrt{3}=0$，則△ABC為銳角三角形．

Answer 1

分析 在①中，利用三角形內(nèi)角和定理和等差數(shù)列的性質(zhì)能求出B=$\frac{π}{3}$；在②中，當b²=ac時，求出a=c，從而推導出△ABC為等邊三角形；在③中，由余弦定理推導出b=$\sqrt{3}c$，A=$\frac{π}{2}$；在④中，推導出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CA}$=0，從而C=$\frac{π}{2}$，進而求出c=2a；在⑤中，推導出tanAtanC＞0，由此能得到△ABC是銳角三角形．

解答 解：在①中，∵A+B+C=π，且2B=A+C，∴B=$\frac{π}{3}$，故①正確；
在②中，當b²=ac時，得ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，∴a=c，
又B=$\frac{π}{3}$，∴△ABC為等邊三角形，故②正確；
在③中，當a=2c時，b²=4c²+c²-2c²，即b=$\sqrt{3}c$，
此時cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0，則A=$\frac{π}{2}$，故③錯誤；
在④中，∵${\overrightarrow{AB}^2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}）+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CA}$=0，∴C=$\frac{π}{2}$，又B=$\frac{π}{3}$，∴c=2a，故④錯誤；
在⑤中，∵tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，
∴tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC），
則tanA+tanC+$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（1-tanAtanC）+$\sqrt{3}$＞0，
∴tanAtanC＞0，
∵A，C均為三角形內(nèi)角，∴A，C均為銳角，∴△ABC是銳角三角形，故⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查命題真假的判斷，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、等差數(shù)列、三角形內(nèi)角和定理、正切函數(shù)加法定理、向量等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．