Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由此能導(dǎo)出所求橢圓E的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+，由1，整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0，，假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得為定值．由此入手能夠推導(dǎo)出存在定點(diǎn)，使得對(duì)于經(jīng)過(guò)（1，0）點(diǎn)的任意一條直線l均有（恒為定值）．
解答：解：（Ⅰ），
∴所求橢圓E的方程為：（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，
把（2）代入（1）整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0（3）
∴，（8分）
假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得為定值
=（ky₁+1-m）（ky₂+1-m）+y₁y₂=（k²+1）y₁y₂+k（1-m）（y₁+y₂）+（1-m）²==
當(dāng)且僅當(dāng)5-4m=0，即時(shí)，（為定值）．這時(shí)（12分）
再驗(yàn)證當(dāng)直線l的傾斜角α=0時(shí)的情形，此時(shí)取，，
∴存在定點(diǎn)使得對(duì)于經(jīng)過(guò)（1，0）點(diǎn)的任意一條直線l均有（恒為定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和點(diǎn)M的存在性質(zhì)的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．