Question

17．設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=${a}_{n}^{2}$+lna_3n+1，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公比q大于1的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=4^n-1+ln2³ⁿ=4^n-1+3nln2，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公比q大于1的等比數(shù)列，
由S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=7，6a₂=a₁+a₃+7，即6a₁q=a₁+a₁q²+7，
解方程可得a₁=1，q=2（$\frac{1}{2}$舍去），
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=${a}_{n}^{2}$+lna_3n+1=4^n-1+ln2³ⁿ
=4^n-1+3nln2，
{b_n}的前n項(xiàng)和T_n為b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+4+16+…+4^n-1）+3ln2（1+2+3+…+n）
=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+3ln2•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+3ln2•$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和數(shù)列的求和方法：分組求和，屬于中檔題．