Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），點（0，b）到右焦點F的距離與它到直線l：x=4的距離比恰為離心率$\frac{1}{2}$，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（1，$\frac{3}{2}$），AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意將點P （1，）代入橢圓的方程，得到，再由離心率為e=$\frac{1}{2}$，將a，b用c表示出來代入方程，解得c，從而解得a，b，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）可先設(shè)出直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程并整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，再求點M的坐標(biāo)，分別表示出k₁，k₂，k₃．比較k₁+k₂=λk₃即可求得參數(shù)的值；

解答 解：（1）點（0，b）到右焦點F（c，0）的距離與它到直線l：x=4的距離比恰為離心率$\frac{1}{2}$，
可得：$\frac{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得：b²+c²=4=a²，①
由離心率e=$\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，則c=1，b=$\sqrt{3}$，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）③
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4，3k），
從而k1=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，k2=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，k3=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{4-1}$=k-$\frac{1}{2}$，
注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k=k_AF=k_BF，即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=k，
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）
=2k-$\frac{3}{2}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-$\frac{3}{2}$×$\frac{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1}$=2k-1，
又k₃=k-$\frac{1}{2}$，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常數(shù)λ=2符合題意．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了分析轉(zhuǎn)化的能力與探究的能力，考查了方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，本題綜合性較強，運算量大，極易出錯，解答時要嚴(yán)謹(jǐn)運算，嚴(yán)密推理，方能碸解答出．