Question

已知函數(shù)f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）設g（x）=x²-2bx+4，當a=

1

3

時，若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先對函數(shù)y=f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，即可得到答案．
（2）由（1）知，當a=

1

3

時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．分別討論f（x）和g（x）的最值之間的關系，即可求出b的取值范圍．

解答： 解（1）∵f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx，
∴f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．
①當

1-a

a

＞1時，即0＜a＜

1

2

時，此時f（x）的單調性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		減		增

當0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函數(shù)，在（1，

1-a

a

）上是減函數(shù)．
②當a=

1

2

時，f′（x）=

(x-1)2

2x2

≥0，f（x）在（9，+∞）上是增函數(shù)．
綜上，當a≤0時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
當0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函數(shù)，
在（1，

1-a

a

）上是減函數(shù)
（2）由（1）知，當a=

1

3

時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)．
于是x₁∈（0，2）時，f（x₁）∈（-∞，

2

3

]，從而存在x₂∈[1，2]，使得g（x₂）=

x

2 2

-2bx2+4≤[-f（x₁）]_min=-

2

3

，
等價為[g（x）]_min≤-

2

3

，x∈[1，2]，
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①當b≤1時，g（x）在[1，2]上遞增，[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤-

2

3

，解得b≥

17

6

（舍去），
②當b≥2時，g（x）在[1，2]上遞減，[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤-

2

3

，解得b≥

13

6

成立．
③當1＜b＜2時，[g（x）]_min=g（b）=4-b²≤-

2

3

，無解．
綜上b≥

13

6

．

點評：本題主要考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用及導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．綜合性較強，難度較大．