Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出及的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令，求出，可得在上單調(diào)遞減，故而可得存在，使得，通過(guò)單調(diào)性與最值的關(guān)系可得有最大值，令，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，可得出，根據(jù)即可得到的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，所以，

又，

所以在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（2）由（1）知，令，

則，所以在上單調(diào)遞減．

由于，，

則存在，使得，

即．

又，，則，

所以在上單調(diào)遞增，

，，則，所以在上單調(diào)遞減，

所以在處有最大值，

由恒成立得，即，

所以．

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

由于，則，解得，所以，

由在上單調(diào)遞增，所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．