Question

8．設(shè)（1+$\frac{1}{2}$x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_mx^m，若a₀，a₁，a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求展開式的中間項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2a₁=a₀+a₂，求得m=8，可得展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式求得結(jié)果．
（Ⅱ）在所給的等式中，分別令x=1、x=-1，可得2個(gè)等式，由這2個(gè)等式即可求得展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和．

解答 解：（Ⅰ）依題意a₀=1，${a_1}=\frac{m}{2}$，${a_2}={C_m}^2{（\frac{1}{2}）^2}$，由2a₁=a₀+a₂
可得m=1（舍去），或m=8，
所以${（1+\frac{1}{2}x）^m}$展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)為：${T_5}=C_8^4{（\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$；
（Ⅱ）${（1+\frac{1}{2}x）^m}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_m}{x^m}$
即${（1+\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$
令x=1則${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
令x=-1則${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，
所以${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{{3^8}-1}}{2^9}=\frac{205}{16}$，
所以展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和為$\frac{205}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．