Question

1．已知二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（2+x）=f（2-x）（x∈R），且該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，3），在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，則該二次函數(shù)的解析式為f（x）=x²-4x+3．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可求出f（x）的零點(diǎn)為1，3，設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入解析式即可求出a，得出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
設(shè)f（x）=0的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₁＜x₂，
則x₁+x₂=4，
又f（x）圖象在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，
∴x₂-x₁=2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{2}-{x}_{1}=2}\end{array}\right.$，得x₁=1，x₂=3，
設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），
∵f（x）圖象與y軸交于點(diǎn)（0，3），
∴f（0）=3a=3，∴a=1．
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
故答案為：f（x）=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．