Question

15．已知P為函數(shù)$y=\frac{1}{4}{x^2}$圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P做x軸的垂線，垂足為B，已知A（3，2），則|PA|+|PB|的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{10}-1$
• C． $2\sqrt{3}+2$
• D． $3\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程得到拋物線焦點(diǎn)為F，并且作出它的準(zhǔn)線：x=-1，延長(zhǎng)PB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義可得得：|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1．再由三角形兩邊之和大于第三邊可得：P點(diǎn)滿足|PA|+|PF|≥|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落在線段AF上時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，最后根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到|PA|+|PF|的最小值，然后求解即可．

解答 解：∵函數(shù)$y=\frac{1}{4}{x^2}$，即拋物線方程為x²=4y，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，延長(zhǎng)P，B交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義得：|PF|=|PC|
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1，當(dāng)P點(diǎn)不在AF上時(shí)，
有|PA|+|PF|＞|AF|；
當(dāng)P點(diǎn)剛好落在AF上時(shí)，有|PA|+|PF|=|AF|，
∴P點(diǎn)滿足|PA|+|PF|≥|AF|，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落在線段AF上時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值為$\sqrt{{3}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
同時(shí)|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PC|-1=|PA|+|PF|-1=$\sqrt{10}-1$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)為M，求點(diǎn)P到B點(diǎn)和A的距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．