Question

5．${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx的值為$\frac{9π}{2}$，f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在x=x₀處導數(shù)為-4，則x₀=±$\frac{a}{2}$．

Answer 1

分析 第一空，根據(jù)定積分的幾何意義和定積分的計算法則即可求出，第二個空，先求導，再代值計算即可．

解答 解：${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx表示以原點為圓心，以及3為半徑的圓的面積的二分之一，
故${∫}_{-3}^{3}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9π}{2}$，
${∫}_{-3}^{3}$x³dx=$\frac{1}{4}{x}^{4}$|${\;}_{-3}^{3}$=0，
故${∫}_{-3}^{3}$（$\sqrt{9-{x}^{2}}$-x³）dx=$\frac{9π}{2}$，
∵f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0），
∴f（x）=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，（a＞0），
∴f（x₀）=-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-4，
∴x₀=±$\frac{a}{2}$a，
故答案為：$\frac{9π}{2}$，±$\frac{a}{2}$

點評 本題考查了定積分的幾何意義和導數(shù)的運算法則，屬于基礎題．