Question

20．給出下列命題：
（1）若函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′（$\frac{π}{2}$）=1；
（2）若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016），則g′（2016）=2015!；
（3）若函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z）
（4）若三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點(diǎn)”的充分條件；
其中正確的命題序號(hào)為（2）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算h′（$\frac{π}{2}$）的值即可判斷正誤；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（2016）的值即可；
（3）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得出f′（x）＞0時(shí)x的取值范圍即可；
（4）判斷a+b+c=0時(shí)f（x）有極值點(diǎn)即可．

解答 解：對(duì)于（1），函數(shù)h（x）=cos⁴x-sin⁴x，
∴h′（x）=4cos³x•（-sinx）-4sin³x•cosx，
∴h′（$\frac{π}{2}$）=-4cos³$\frac{π}{2}$•sin$\frac{π}{2}$-4sin³$\frac{π}{2}$cos$\frac{π}{2}$=0，（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2），函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016），
則g′（x）=（x-2）（x-3）…（x-2015）（x-2016）+（x-1）（x-3）…
（x-2015）（x-2016）+…+（x-1）（x-2）…（x-2015），
∴g′（2016）=1×2×3×…×2015=2015!，（2）正確；
對(duì)于（3），函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$，
∴f′（x）=$\frac{cos（2+cosx）-sinx•（-sinx）}{{（2+cosx）}^{2}}$=$\frac{1+2cosx}{{（2+cosx）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，得cosx＞-$\frac{1}{2}$，
解得2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$）（k∈Z），（3）正確；
對(duì)于（4），三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c，
要使函數(shù)f（x）有極值，則△=b²-3ac≥0，
a+b+c=0滿足條件，是“f（x）有極值點(diǎn)”的充分條件，（4）正確．
綜上，正確的命題序號(hào)為（2）、（3）、（4）．
故答案為：（2）、（3）、（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判斷問題，要求熟練掌握判斷命題真假的判斷方法和相關(guān)知識(shí)，是綜合性題目．