Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其導(dǎo)函數(shù)的圖象f'（x）如圖所示，則$f（{\frac{π}{2}}）$的值為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過（$\frac{3π}{2}$，-2），求出φ，得到函數(shù)的解析式，即可得解．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由圖象可知f′（x）的周期為4π．
所以ω=$\frac{1}{2}$．
又因?yàn)锳ω=2．
所以A=4．
函數(shù)經(jīng)過（$\frac{3π}{2}$，-2），
所以-2=2cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ），0＜φ＜π，
所以 $\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ=π，即φ=$\frac{π}{4}$．
所以f（x）=4sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
所以f（$\frac{π}{2}$）=4sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=4．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象的關(guān)系，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．