分析 (Ⅰ)由曲線C的極坐標方程求出曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4,將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x2+y2=4,得t2+2tcosα-3=0,利用根的判別式能證明不論t為何值,直線l與曲線C恒有兩個公共點.
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線交點A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,弦AB中點P對應(yīng)參數(shù)為t0,由中點坐標公式求出${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα,代入$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中,能得到弦AB的中點的軌跡方程,由此能求出結(jié)果.
解答 證明:(Ⅰ)∵曲線C的極坐標方程為ρ=2,∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=4,
將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x2+y2=4,得t2+2tcosα-3=0,(*)
由△=(2cosα)2-4×(-3)>0,知方程(*)恒有兩個不等實根,
故不論t為何值,直線l與曲線C恒有兩個公共點.
解:(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線交點A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,弦AB中點P對應(yīng)參數(shù)為t0,
由(*)知${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα,
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中,整理,得弦AB的中點的軌跡方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-co{s}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-cos2α}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}sin2α}\end{array}\right.$(α為參數(shù)),該曲線為圓.
點評 本題考查直線與曲線恒有兩個公共點的證明,考查弦的中點軌跡的參數(shù)方程的求法,考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 4.0 | 2.5 | -0.5 | 0.5 | -2.0 |
A. | 1.4 | B. | -1.4 | C. | 1.2 | D. | -1.2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 既有極大值又有極小值 | B. | 有極大值無極小值 | ||
C. | 既無極大值又無極小值 | D. | 有極小值無極大值 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數(shù)x(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料t(袋) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
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