Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2則θ的取值范圍為$[0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，可得：$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=12，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，可得：$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=12，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}$=8≥2$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$≥$\frac{1}{2}$．
∴θ∈$[0，\frac{π}{3}]$．
故答案為：$[0，\frac{π}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．