Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)y=f（x），x∈[0，2]的最大值及最小值
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，求a的取值圍
（3）若f（x）對(duì)a∈[-

5

2

，0]中的每一個(gè)數(shù)a，都有f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；
（2）通過(guò)討論a的范圍，得到不等式，綜合解出即可；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式x²+5x+4＞0，解出即可．

解答： 解：（1）a=

1

2

時(shí)，f（x）=x²-x+4，對(duì)稱(chēng)軸x=

1

2

，
∴函數(shù)f（x）在[0，

1

2

）遞減，在（

1

2

，2]遞增，
∴f(x)min=

15

4

，f(x)max=6；
（2）ymax=

8-4a，a＜1 4，a≥1

ymin=

4，a≤0 -a2+4，0＜a＜2 8-4a，a≥2

，
對(duì)任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，即y_max-y_min＜4，
（i）a≤0時(shí)，8-4a-4＜4∴a＞0不合題意，
（ii）0＜a＜1時(shí)，8-4a-（-a²+4）＜4，0＜a＜4∴0＜a＜1，
（iii）1≤a≤2時(shí)，4-（-a²+4）＜4∴-2＜a＜2∴1≤a＜2，
（iv）a≥2時(shí)，4-（8-4a）＜4∴a＜2不合題意，
綜上：0＜a＜2；
（3）由f（x）＞0，得：x²+4＞2ax，
a=-

5

2

時(shí)，得：x²+5x+4＞0，解得：x＞-1或x＜-4，
故x的范圍是：（-∞，-4）∪（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．