Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+1，若存在實數(shù)t，使得不等式f（x+t）≤x對任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，則實數(shù)m的最大值為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由當x∈[1，m]時，f（x+t）≤x恒成立，即g（x）=f（x+t）-x≤0恒成立，則需滿足g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范圍，討論m的取值即可得到m的最大值．

解答： 解：設g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，
由題意f（x+t）-x≤0對任意的x∈[1，m]（m＞1）恒成立，
即g（1）≤0且g（m）≤0．
由g（1）≤0，得t∈[-3，-1]，
由g（m）≤0，得m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，
則當t=-1時，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；
當t=-3時，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4．
綜上得到：m∈[1，4]，
∴m的最大值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查學生理解函數(shù)恒成立時取條件的能力，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，訓練了靈活運用二次函數(shù)求最值的方法的能力，是中檔題．