Question

定義域為R的函數f（x）滿足條件：①[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；②f（x）+f（-x）=0（x∈R）；③f（-3）=0．則不等式x•f（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件判斷出函數為奇函數，且在（0，+∞）和（-∞，0）上為增函數，根據不等式，分x＞0，和x＜0討論即可．

解答： 解：∵f（x）+f（-x）=0（x∈R）；
∴函數f（x）為奇函數，
∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；
∴函數f（x）在（0，+∞）為增函數，
∴函數f（x）在（-∞，0）也為增函數，
∵f（-3）=0．
∴f（3）=0，
當x＞0時，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＜0
∴0＜x＜3，
當x＜0時，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＞0，
∴x＜-3
故原不等式的解集為（-∞，-3）∪（0，3），
故答案為：（-∞，-3）∪（0，3）

點評：本題主要考查了抽象函數的應用，利用函數的單調性和奇偶性，需要分類討論，屬于中檔題．