Question

一個無窮等比數(shù)列，公比為q，|q|＜1，前兩項之和為

1

2

，且所有奇數(shù)項和比所有偶數(shù)項和大2，求公比q和首項a．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由前兩項之和為

1

2

列出一個方程，再由等比數(shù)列的前n項和分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和后，作差后取極限列出一個方程，聯(lián)立兩個方程求得等比數(shù)列的公比和首項．

解答： 解：∵前兩項之和為

1

2

，
∴a+aq=

1

2

，①
∵所有奇數(shù)項和比所有偶數(shù)項和大2，|q|＜1，
∴

lim

n→∞

a(1-q2n)

1-q2

-

lim

n→∞

aq(1-q2n)

1-q2

=

a

1-q2

-

aq

1-q2

=2，②
由①②解得，

a=1 q=- 1 2

或

a=-1 q=- 3 2

舍去，
所以公比q為-

1

2

、首項a為1．

點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和、通項公式，考查了數(shù)列的極限及求法，是中檔題．