Question

4．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2$\sqrt{13}$，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線(xiàn)實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3：7，則雙曲線(xiàn)方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$

Answer 1

分析 根據(jù)半焦距c=$\sqrt{13}$，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，則雙曲線(xiàn)實(shí)半軸a-4，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，由隱含條件求得虛半軸的長(zhǎng)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可求．

解答 解：由題意知，半焦距c=$\sqrt{13}$，
設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，則雙曲線(xiàn)實(shí)半軸a-4，
離心率之比為$\frac{3}{7}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{a}}{\frac{\sqrt{13}}{a-4}}$，解得a=7，
∴雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為7-4=3，虛半軸的長(zhǎng)為$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{3}^{2}}=2$，
則雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題．