Question

18．函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），且當(dāng)x≠1時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），若1＜a＜2，則（　�。�

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． $f（2）＜f（{log_2}a）＜f（{2^a}）$
• C． $f（{log_2}a）＜f（{2^a}）＜f（2）$
• D． $f（{log_2}a）＜f（2）＜f（{2^a}）$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．當(dāng)x≠1時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），可得（x-1）f′（x）＞0，進(jìn)而得到單調(diào)性．若1＜a＜2，則0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
當(dāng)x≠1時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）＞f'（x），則（x-1）f′（x）＞0，
x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
若1＜a＜2，則0＜log₂a＜1＜2＜2^a，f（log₂a）=f（2-log₂a），2-log₂a∈（1，2），
∴f（log₂a）=f（2-log₂a）＜f（2）＜f（2^a），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．