Question

19．已知f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k項相加，則前k項和不小于$\frac{63}{64}$的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-{g}^{'}（x）f（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，從而$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x單調(diào)遞減，求出a=$\frac{1}{2}$，進而{$\frac{f（x）}{g（x）}$}是首項為$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由此能求出在有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k項相加，則前k項和不小于$\frac{63}{64}$的概率．

解答 解：∵f（x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-{g}^{'}（x）f（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，即$\frac{f（x）}{g（x）}$單調(diào)遞減，
又$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，故0＜a＜1，
∴由$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，得a=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{f（x）}{g（x）}$}是首項為$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
其前n項和S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ≥$\frac{63}{64}$，
∴n≥6，
∴在有窮數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k項相加，則前k項和不小于$\frac{63}{64}$的概率是：
P=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查概率的求法，考查古典概型、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．