Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差為1的等差數(shù)列，且a₂=3，a₃=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差為1的等差數(shù)列，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+n-1，S_n=n（a₁+n-1），分別取n=2，3，及其a₂=3，a₃=5．解得a₁=1．可得S_n=n²．利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的公差為1的等差數(shù)列，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+n-1，可得S_n=n（a₁+n-1），
∴a₁+a₂=2（a₁+1），a₁+a₂+a₃=3（a₁+2），且a₂=3，a₃=5．
解得a₁=1．
∴S_n=n²．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n=1時也成立）．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n•3ⁿ=（2n-1）•3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{9（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
可得T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．