Question

設函數(shù)．（p是實數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（2）若f（x）在其定義域內為單調函數(shù)，求p的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“函數(shù)f（x）的圖象相切于點（1，0）求得切線l的方程，再由“l(fā)與g（x）圖象相切”得到（p-1）x²-（p-1）x-e=0由判別式求解即可．
（2）求導f’（x）=，要使“f（x）為單調增函數(shù)”，轉化為“f’（x）≥0恒成立”，再轉化為“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）為單調減函數(shù)”，轉化為“f’（x）≤0恒成立”，再轉化為“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后兩個結果取并集．
（3）因為“在[1，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立”，要轉化為“f（x）_max＞g（x）_min”解決，易知g（x）=在[1，e]上為減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]，①當p≤0時，f（x）在[1，e]上遞減；②當p≥1時，f（x）在[1，e]上遞增；③當0＜p＜1時，兩者作差比較．
解答：解：（1）∵f′（x）=p+，∴f’（1）=2（p-1），設直線l：y=2（p-1）（x-1），
∵l與g（x）圖象相切，∴y=2（p-1）（x-1），得（p-1）（x-1）=，即（p-1）x²-（p-1）x-e=0，y=
當p=1時，方程無解；當p≠1時由△=（p-1）²-4（p-1）（-e）=0，
得p=1-4e，綜上，p=1-4e
（2）f’（x）=，要使“f（x）為單調增函數(shù)”，轉化為“f’（x）≥0恒成立”，即p≥=恒成立，又，所以當p≥1時，f（x）在（0，+∞）為單調增函數(shù)．
同理，要使“f（x）為單調減函數(shù)”，轉化為“f’（x）≤0恒成立，再轉化為“p≤=恒成立”，又，所以當p≤0時，f（x）在（0，+∞）為單調減函數(shù)．
綜上所述，f（x）在（0，+∞）為單調函數(shù)，p的取值范圍為p≥1或p≤0
（3）因g（x）=在[1，e]上為減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]
①當p≤0時，由（1）知f（x）在[1，e]上遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意
②當p≥1時，由（1）知f（x）在[1，e]上遞增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-）-2lne＞2⇒p＞．
③當0＜p＜1時，因x-≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-）-2lnx≤（x-）-2lnx≤e--2lne＜2不合題意
綜上，p的取值范圍為（ ，+∞）
點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，已知單調性求參數(shù)的范圍往往轉化為求相應函數(shù)的最值問題．