已知An(an,bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點(diǎn),a1=a,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足:Sn2=3n2an+
S
2
n-1
,a≠0,n=2,3,4…

(1)證明:數(shù)列(
bn+2
bn
)(n≥2)
是常數(shù)數(shù)列;
(2)確定a的取值集合M,使得當(dāng)a∈M時(shí),數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;
(3)證明:當(dāng)a∈M時(shí),弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增.
分析:(I)當(dāng)n≥2時(shí),通過已知得Sn2-Sn-12=3n2an,由此可得
bn+2
bn
=e6是常數(shù),從而說明數(shù)列(
bn+2
bn
)(n≥2)
是常數(shù)數(shù)列.
(II)由題設(shè)條件可知a2=12-2a、a3+a2=15,a4+a3=21,所以a3=3+2a,a4=18-2a,數(shù)列{a2k}和{a2k+1}分別是以a2,a3為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,所以a2k=a2+6(k-1),a2k+1=a3+6(k-1),a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*),再由數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列能夠推陳出a的取值集合.
(III)弦AnAn+1的斜率為kn=
bn+1-bn
an+1-an
,通過an<an+1<an+2,推出kn<kn+1,說明弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增.
解答:解:(I)當(dāng)n≥2時(shí),由已知得Sn2-Sn-12=3n2an,
因?yàn)閍n=Sn-Sn-1≠0,所以Sn+Sn-1=3n2①,
于是Sn+1+Sn=3(n+1)2②,
由②-①得an+1+an=6n+3③,
于是an+2+an+1=6n+9④,
由④-③得an+2-an=6⑤,
An(an,bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點(diǎn),所以bn=ean
所以
bn+2
bn
=ean+2-an=e6,是常數(shù),即數(shù)列{
bn+2
bn
}(n≥2)是常數(shù)數(shù)列.
(II)由①有S2+S1=12,所以a2=12-2a、由③有a3+a2=15,a4+a3=21,所以a3=3+2a,a4=18-2a.
而⑤表明:數(shù)列{a2k}和{a2k+1}分別是以a2,a3為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,
所以a2k=a2+6(k-1),a2k+1=a3+6(k-1),a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*),
數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列?a1<a2且a2k<a2k+1<a2k+2對任意的k∈N*成立.
?a1<a2且a2+6(k-1)<a3+6(k-1)<a4+6(k-1)
?a1<a2<a3<a4?a<12-2a<3+2a<18-2a
?
9
4
<a<
15
4

即所求a的取值集合是M={a|
9
4
<a<
15
4
}.
(III)解:弦AnAn+1的斜率為kn=
bn+1-bn
an+1-an
=
ean+1-ean
an+1-an
,
任取x0,設(shè)函數(shù)f(x)=
ex-ex0
x-x0
,則f(x)=
ex(x-x0)-(ex-ex0)
(x-x0)2

記g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0),則g'(x)=ex(x-x0)+ex-ex=ex(x-x0),
當(dāng)x>x0時(shí),g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上為增函數(shù),
當(dāng)x<x0時(shí),g′(x)<0,g(x)在(-∞,x0)上為減函數(shù),
所以x≠x0時(shí),g(x)>g(x0)=0,從而f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,x0)和(x0,+∞)上都是增函數(shù).
由(II)知,a∈M時(shí),數(shù)列{an}單調(diào)遞增,
取x0=an,因?yàn)閍n<an+1<an+2,所以kn=
ean+1-ean
an+1-an
ean+2-ean
an+2-an

取x0=an+2,因?yàn)閍n<an+1<an+2,所以kn+1=
ean+1-ean+2
an+1-an+2
ean-ean+2
an-an+2

所以kn<kn+1,即弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列知識的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,深入挖掘題設(shè)中的隱含條件.注意函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知An(an,bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點(diǎn),a1=a,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn2=3n2an+Sn-12,an≠0,n=2,3,4,….
(1)證明:數(shù)列{
bn+2bn
}(n≥2)是常數(shù)數(shù)列;
(2)確定a的取值集合M,使a∈M時(shí),數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;
(3)證明:當(dāng)a∈M時(shí),弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧德模擬)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an(n∈N+),數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列,且b2=a3
(I)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{an-bn}的前n項(xiàng)和sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a3+b4=24,S5-b4=24.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)對任意n∈N*,是否存在正實(shí)數(shù)λ,使不等式an-9≤λbn恒成立,若存在,求出λ的最小值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
(n∈N*)
,若Tn+
3n+5
2n
-
1
n
≤c
恒成立,求實(shí)數(shù)c的最小值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鏁愭径濠勵吅闂佹寧绻傞幉娑㈠箻缂佹ḿ鍘遍梺闈涚墕閹冲酣顢旈銏$厸閻忕偛澧藉ú瀛橆殽閻愯揪鑰块柟宕囧█椤㈡寰勭€f挻绮撳缁樻媴鐟欏嫬浠╅梺鍛婃煥缁夊爼骞戦姀銈呯妞ゆ柨妲堥敃鍌涚厱闁哄洢鍔岄悘鐘绘煕閹般劌浜惧┑锛勫亼閸婃牠宕濋敃鈧…鍧楀焵椤掑倻纾兼い鏃傚帶椤e磭绱掓潏銊﹀鞍闁瑰嘲鎳橀獮鎾诲箳瀹ュ拋妫滃┑鐘垫暩婵即宕归悡搴樻灃婵炴垯鍩勯弫鍕煕閺囥劌骞楃€规洘鐓¢弻娑㈠焺閸愵亖濮囬梺缁樻尭缁绘﹢寮诲☉銏╂晝闁挎繂娲ㄩ悾娲⒑闂堚晝绋绘俊鐐扮矙瀵鈽夐姀鈩冩珳闂佸憡渚楅崰娑氭兜閳ь剛绱撻崒娆愮グ濡炴潙鎽滈弫顕€鏁撻悩鑼暫闂佸啿鎼幊蹇浰夐崼鐔虹闁瑰鍋涚粭姘舵煟鎼存繂宓嗘慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍐ㄥ壍闂備焦妞块崜娆撳Χ缁嬭法鏆﹀ù鍏兼綑閸愨偓濡炪倖鎸炬慨瀵哥矈閿曞倹鈷戠痪顓炴噺瑜把呯磼閻樺啿鐏╃紒顔款嚙閳藉濮€閳锯偓閹峰姊洪崜鎻掍簽闁哥姵鎹囬崺濠囧即閻旂繝绨婚梺鍝勫€搁悘婵嬵敂椤撶喐鍙忓┑鐘插鐢盯鏌熷畡鐗堝殗鐎规洏鍔嶇换婵嬪磼濞戞瑧鏆┑鐘垫暩閸庢垹寰婇挊澹濇椽鏁冮埀顒勨€旈崘鈺冾浄閻庯綆鍋呭▍婊堟⒑缂佹ê濮堟繛鍏肩懅濞嗐垽鎮欓悜妯煎幍闂備緡鍙忕粻鎴﹀礉閿曞倹鐓ラ柡鍥╁仜閳ь剙缍婇幃锟犲即閵忥紕鍘搁梺鎼炲劘閸庤鲸淇婃總鍛婄厽闊洦娲栨牎婵烇絽娲ら敃顏堛€侀弴銏℃櫜闊洦鍩冮崑鎾诲锤濡や胶鍘搁柣蹇曞仜婢ц棄煤閹绢喗鐓冮柕澶樺灣閻e灚顨ラ悙宸剰闁宠鍨垮畷鍫曞煛閳ь剚绔熼弴鐘电=闁稿本鑹鹃埀顒勵棑缁牊绗熼埀顒勩€侀弽顓炲窛妞ゆ牗绋戞惔濠囨⒑閸︻厼顣兼繝銏★耿閹€愁潨閳ь剟寮婚悢鍛婄秶濡わ絽鍟宥夋⒑缁嬪尅鍔熼柛蹇旓耿瀵濡堕崶褎鐎抽梺鍛婎殘閸嬫盯锝為锔解拺闁告稑锕ラ悡銉╂煙鐠囇呯?闁瑰箍鍨归埥澶婎潩閿濆懍澹曞┑鐐村灦閻燂紕绱撳鑸电厽妞ゆ挻绮岄埀顒佹礋濠€浣糕攽閻樿宸ョ紒銊ㄥ亹閼鸿京绱掑Ο闀愮盎闂佸搫娴傛禍鐐电矙閼姐倗纾肩紓浣贯缚缁犳挻銇勯锝囩疄妞ゃ垺锕㈤幃銏ゅ礈闊厽鍩涢梻鍌氬€搁崐鐑芥嚄閸撲礁鍨濇い鏍ㄧ〒娴犳岸姊虹拠鑼缂佺粯鍨块幃鐑藉煛娴g儤娈鹃梺瑙勫婢ф宕愰悜鑺ョ厽闁瑰鍊戝璺虹婵炲樊浜濋悡鐔煎箹缁懓澧查悹鎰ㄢ偓鏂ユ斀妞ゆ梻鍋撻弳顒€鈹戦埄鍐╁唉鐎规洘锕㈤崺锟犲焵椤掑倹宕查柛鈩冪⊕閻撶喖鏌熼柇锕€骞楃紓宥嗗灦缁绘盯骞栭鐐寸亶濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗗浚鍟呮い鏃傚帶婢瑰淇婇悙顏勨偓褎淇婇崶銊︽珷婵°倕鎳庣粻姘舵煛閸愩劎澧涢柡鍛叀閺屾盯濡烽埡濠冾棖闁瑰吋娼欓敃顏勵潖婵犳艾纾兼繛鍡樺笒閸橈紕绱撴笟鍥ф珮闁搞劏娉涢悾宄扳攽鐎n偅娅囬梺绋挎湰濮樸劑藝椤撶偐鏀介柣鎰级椤ョ偤鏌熺粙鎸庢喐缂侇喖鐗婂鍕箛椤撶姴甯鹃梻浣稿閸嬪懐鎹㈤崘顔㈠骞樼搾浣烘嚀楗即宕熼鐘靛帒闂備線娼уú銈団偓姘嵆閻涱喖螣閸忕厧纾梺鐑╂櫆鐢洭宕规禒瀣摕婵炴垶顭傞悢鍏兼優閻熸瑥瀚崰鏍ㄤ繆閻愵亜鈧垿宕濇繝鍥х?闁汇垻枪缁犳牗绻涢崱妯诲碍缂佺姷鏁婚弻鐔兼倻濡闉嶅銈嗘煥鐎氭澘顫忓ú顏勭鐟滃繒鏁☉銏$厽婵°倕鍟埢鍫⑩偓娈垮枦椤曆囧煡婢跺á鐔兼煥鐎e灚缍岄梻鍌欑閹诧繝銆冮崼銉ョ;闁绘劗鍎ら崐鍫曟煕椤愩倕鏋旂紒鐘荤畺閹鎮介惂璇茬秺椤㈡挸鐣濋崟顒傚幈濠电偛妫楃换鎰板汲濞嗘劑浜滄い鎰╁灮缁犲鏌熼悡搴gШ鐎规洜鍏橀、姗€鎮崨顖氱哎婵犵數濮甸鏍窗濡ゅ懌鈧啴宕ㄩ鍥ㄧ☉閳诲酣骞橀弶鎴滄偅闂備礁澹婇崑鍛哄鈧崺娑㈠箣閻樼數锛濇繛杈剧悼濞呫垺绗熷☉娆戠闁割偆鍠愰ˉ鍫ユ煛鐏炶濮傜€殿喗鎸虫俊鎼佸Χ婢跺﹣绮i梻鍌欒兌缁垱绗熷Δ鍛獥婵炴垶姘ㄦ稉宥嗙箾閹寸們姘i崼鐔虹闁糕剝锚閻忋儱鈹戦鑺ュ€愰柡宀嬬稻閹棃鏁嶉崟顓熸闂備胶枪妤犵ǹ鐣烽鍐罕闁诲骸鍘滈崑鎾绘煕閺囥劌浜炴い鏂挎閳规垿鎮欓崣澶嗘灆婵炲瓨绮嶇换鍫ュ春濞戙垹绠i柨鏃傛櫕閸樺崬鈹戦悙鏉戠仸闁挎洦鍋婂畷婵嬫偄閾忓湱锛滈梺缁樓瑰▍鏇炵暦瀹€鍕厵妞ゆ梻鐡斿▓鏃€銇勯锝囩疄闁诡喒鍓濋幆鏃堟晬閸曨厽缍侀梻鍌氬€峰ù鍥ь浖閵娧呯焼濞达綀娅i惌鎾绘煟閻旂厧浜伴柛銈嗘礃閵囧嫰寮村Δ鈧禍楣冩倵鐟欏嫭绀冮悽顖涘浮閵堫亝瀵奸弶鎴炪仢闂佸憡鍔︽禍婊呰姳閵夆晜鈷掗柛灞捐壘閳ь剟顥撶划鍫熺瑹閳ь剟鐛弽顓ф晝闁靛牆妫楁禒蹇擃渻閵堝棗濮х紒鐘冲灩婢规洟宕稿Δ浣哄幍闂佽鍨卞妯款暱闂備胶枪椤戝倿寮插⿰鍛床婵炴垶锕╅崯鍛亜閺冨洤鍚归柛鎴濈秺濮婅櫣绱掑Ο璇查瀺缂備礁顑嗛崹鍨耿娓氣偓濮婃椽骞愭惔锝囩暤闂佺懓鍟跨换姗€鐛径鎰濞达絽鎲¢悗顒勬⒑閸撴彃浜濋柟顖氾躬瀵噣宕奸悢铚傛睏闂傚倸鍊搁悧濠勭矙閹邦喖鍨濋悹楦裤€€閺€浠嬫煟閹邦剙绾ч柍缁樻礋閺屾稑鈻庤箛鎾存婵犵鈧磭鎽犵紒妤冨枛閸┾偓妞ゆ巻鍋撴い鏇稻缁傛帞鈧絽鐏氶弲锝夋⒑缂佹ê濮嶆繛浣冲洨宓侀柟鎵閳锋帒霉閿濆懏鍟為柛鐔哄仱閺屾盯寮埀顒勫垂閸喚鏆︽繝闈涙-閸氬顭跨捄渚剰闁逞屽墮閻栧ジ寮诲☉銏╂晝闁绘ɑ褰冩慨鏇㈡⒑缁嬪尅鍔熼柡浣割煼楠炲啫鐣¢幍铏€婚棅顐㈡处閹尖晜绂掗崜褏纾藉ù锝嗗絻娴滈箖姊洪崨濠傚闁哄倸鍊圭粋宥呪堪閸喓鍘繝鐢靛仜閻忔繈宕濋悽鍛婎棅妞ゆ帒顦晶顖涖亜閵婏絽鍔﹂柟顔界懅閹风姾顦堕柛姘煎亰閹鈻撻崹顔界亞缂備緡鍠楅悷鈺呭Υ娴e壊娼ㄩ柍褜鍓熼獮鍐ㄢ枎閹炬惌妫冨┑鐐村灦宀e潡顢欓崶顒佲拻闁稿本鑹鹃埀顒勵棑缁牊绗熼埀顒勭嵁婢舵劖鏅搁柣妯垮皺椤︻噣姊虹涵鍛涧缂佺姵鍨圭划鍫熷緞閹邦剛顔愬┑鐑囩秵閸撴瑦淇婇懖鈺冩/闁诡垎鍛ㄩ梺鍝勮閸旀垿骞冮妶澶婄<婵炴垶锕╂导锟�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•天津)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,證明:Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).

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