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10.已知函數(shù)f(x)=cosxsin(x-π6).
(Ⅰ)當(dāng)x∈[0,π2]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(Ⅱ)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=14,a=3,且sinB=2sinC,求△ABC的面積.

分析 (I)利用倍角公式、和差公式可得:函數(shù)f(x)=12sin2xπ6-14.由于x∈[0,π2],2xπ6[π65π6],可得sin2xπ6[121],即可得出.
(II)由于f(A)=14,代入可得12sin2Aπ6-14=14,化為:sin2Aπ6=1,可得A.由于sinB=2sinC,利用正弦定理可得:b=2c.再利用余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,解得c,b,即可得出.

解答 解:(I)函數(shù)f(x)=cosxsin(x-π6)=cosx32sinx12cosx=34sin2x-1+cos2x4=12sin2xπ6-14
∵x∈[0,π2],2xπ6[π65π6],∴sin2xπ6[121]
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?[-\frac{1}{2},\frac{1}{4}]IIfA=\frac{1}{4}\frac{1}{2}sin(2A-\frac{π}{6})\frac{1}{4}=\frac{1}{4}sin(2A-\frac{π}{6})=1A0π2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}A=\frac{π}{3}$.
∵sinB=2sinC,∴b=2c.
∴a2=b2+c2-2bccosA,
∴(32=5c2-4c2×cosπ3,解得c=1.
b=2.
∴S△ABC=12bcsinA=12×2×1×sinπ3=32

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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 A街區(qū) 5 x 10
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