Question

【題目】已知函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

(Ⅰ) 設(shè)（其中是的導(dǎo)數(shù)），求的極小值；

(Ⅱ) 若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性可求得函數(shù)的極值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，.討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)兩種情況，分別利用對(duì)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值，從而可篩選出符合題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.

(Ⅰ)，.

令，∴，

∴在上為增函數(shù)，.

∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，

∴.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，

∴.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，滿足條件；

當(dāng)時(shí)，.

又∵，∴，使得，

此時(shí)，，；，，

∴在上單調(diào)遞減，，都有，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.